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2019年

「集合と写像」12.可算と非可算2

 この記事では,\(\mathfrak{P}(\mathbb{N})=\mathbb{R}\) と \(|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\times\mathbb{R}|\) の証明をおこなう.なお,\(\mathfrak{P}(\mathbb{N})\) は \(\mathbb{N}\) のべき集合であり,このサイトでは \(0\in\mathbb{N}\) としている. \(| […]

「集合と写像」11.直積やべき集合と濃度,カントールの定理

 この記事では,濃度の比較について,直積やべき集合に関連するものを紹介する. 直積と濃度  直積によって構成されたふたつの集合について,直積を構成する集合(直積因子)同士の関係からわかることがある. 定理 11.1 \begin{align} \mathrm{(i)}:\ &|A_1|\leq|B_1|かつ|A_2|\leq|B_2|\Rightarrow|A_1\times{}A_2|\ […]

「集合と写像」10.可算と非可算1

 ここでは,集合の濃度について,「可算」「非可算」ということばを紹介し,いくつかの集合の濃度が可算であることや \(\mathbb{R}\) が非可算であることなどについて解説する. 可算の定義  まず,この記事で最も中心的な話題となる「可算」を定義しよう. 定義 10.1 可算  任意に与えられた集合 \(A\) について, $$|A|=|\mathbb{N}|$$ であるとき,すなわち,\(A […]

「集合と写像」9.濃度の大小,ベルンシュタインの定理

 「濃度の比較」とは,集合の元の個数の比較を,より一般に拡大したものである.この記事では,「濃度の比較」の基礎となる「濃度の大小」の定義,および,その基本的な性質を紹介する.(なお,「濃度」そのものはこの記事では定義しない.のちに順序数について解説していく際に定義する.) 定義  まず,以下のように「濃度の大小」(濃度ではない!)を定義する. 定義 9.1  (i) 集合 \(A,B\) の間に少 […]

「集合と写像」8.逆写像

 この記事では,逆写像について解説する.はじめに定義といくつかの例を与え,その後,逆写像の一意性,逆写像が存在することと全単射であることの同値性をみる. 逆写像の定義  まずは,逆写像の定義と簡単な例を与えよう. 定義 8.1 逆写像  写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.このとき,ある写像 \(g:B\to{}A\) があって \begin{align} g\circ{}f […]

「集合と写像」7.単射,全射,全単射

 この記事では,全射,単射,全単射の定義を与え,合成によってこれらの性質が保たれることをみる. 単射  まずは,単射の定義を与えよう.これは,行き先が同じならもとの元が同じであることの定式化となっている. 定義 7.1 単射  写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.写像 \(f\) が単射であるとは, $$任意のAの元a_1,a_2について,f(a_1)=f(a_2)\Righ […]

「集合と写像」6.像,逆像

 この記事では,像や逆像の定義と,その簡単な例や基本的な性質を与える. 像  「像」とは,端的に言えば「行き先」のことである.写像の定義域のある部分集合について議論したいときに,その「行き先」を考えたいときがあるので,以下のような準備をしておくのである. 定義 6.1 像  写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.このとき,\(A\) の部分集合 \(X\) に対し,\(B\) […]

「微分積分学」10.数列の極限の定義と基本的性質

 この記事では,数列1)数列(点列)とは,詳しく言えば,\(\mathbb{N}\)からある集合(この記事の場合は\(\mathbb{R}\))への写像である.なお,この記事では,\(\mathbb{N}\) は0を含むこととする.の極限の定義とそれらに関する基本的な事実について解説する.(数列の極限の定義はこの記事でも解説している.\(\varepsilon\)-\(N\) 論法の解説が見たい人 […]

「微分積分学」9.有理数の稠密性

 この記事では,有理数(や無理数)の「稠密性(ちゅうみつせい)」と呼ばれる性質について解説する. 有理数の稠密性  ここでいう「稠密」とは,任意の \(\mathbb{R}\) の点 \(r\) と任意の正の数 \(\varepsilon\) に対して \({}(r-\varepsilon,r+\varepsilon)\) に含まれる有理数が存在する,ということである.これは,任意の(空でない)開 […]

「微分積分学」8.ハイネ=ボレルの被覆定理と実数の連続性

 この記事では,ハイネ=ボレルの被覆定理が,実数の連続性を表す同値な定理のひとつであることについて解説する. ハイネ=ボレルの被覆定理と実数の連続性  ハイネ=ボレルの被覆定理は,実数の連続性を表す同値な定理のひとつである.実際,以下の6つは全て同値である. \begin{align} (\mathrm{I}) &:デデキントの定理\notag\\ (\mathrm{II}) &: […]