MONTH

2019年4月

「微分積分学」2.有界単調数列の収束

2.有界単調数列の収束  前の記事から,実数の連続性を述べるものである,以下の6つの定理が同値であることの証明や必要な諸概念の定義を行っており,前の記事では \({}(\mathrm{I})\Rightarrow(\mathrm{II})\) を示した. $$\begin{align} (\mathrm{I}) &:デデキントの定理\\ (\mathrm{II}) &:ワイエルシュ […]

「集合と写像」5.写像,写像の合成

5.写像,写像の合成  この記事では,写像の定義をする.様々な分野の数学の教科書に載っている一般的なものを紹介した後,直積を用いた,集合としての定義を添えておく.そしてその後,写像の合成について説明する.このとき,高等学校で習ったであろう三角関数を例として用いる1)三角関数,および指数,対数関数について微分積分学の記事でもうすこし詳しく触れるつもりである.ただし,三角関数を定義するときに級数の収束 […]

「集合と写像」4.集合族,補集合

4.集合族,補集合  この記事では集合族と補集合について解説を行う.また,それに関連して巾集合や添字付けられた集合族についても解説する. 集合族 定義 4.1 集合族  各元が集合であるような集合のことを,集合族という. 例 4.2 集合族の簡単な例  \(A\) を,以下のような集合とすれば,\(A\) は集合族である. $$A=\{\{1\},\ \{2\}\}$$ 定義 4.3 巾集合  集 […]

「微分積分学」1.デデキントの切断と上限,下限

1.デデキントの切断と上限,下限 実数の連続性  ここから何記事かかけて,実数の連続性と呼ばれる諸定理(公理として扱われることが多い)について解説する.  実数の連続性とは,簡単に言うと,数直線上には実数が「ぎっちり」詰まっていることを意味する.これを説明する同値な定理が数多く知られているが,その内の以下の6つ,特に1次元の場合について,使われている用語などと共に,上から順に解説する. $$\be […]