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2019年4月

「微分積分学」2.有界単調数列の収束

この記事では,有界で単調な数列が収束するという事実について解説する.また,それに関連して,実数の連続性についても解説する. 以下の6つの定理は実数の連続性を表すものとなっており,この記事で取り上げる有界で単調な数列が収束するという事実もその一つである. $$\begin{align} (\mathrm{I}) &:デデキントの定理\\ (\mathrm{II}) &:ワイエルシュト […]

「集合と写像」1.5 写像,写像の合成

この記事では,写像の定義をする.様々な分野の数学の教科書に載っている一般的なものを紹介した後,直積を用いた,集合としての定義を添えておく.そしてその後,写像の合成について説明する.このとき,高等学校で習ったであろう三角関数を例として用いる1)三角関数,および指数,対数関数について微分積分学の記事でもうすこし詳しく触れるつもりである.ただし,三角関数を定義するときに級数の収束,あるいは曲線の長さとい […]

「集合と写像」1.4 集合族,べき集合,補集合

この記事では集合族と補集合について解説を行う.また,それに関連してべき集合についても解説する. 集合族 定義 1.4.1 集合族 各元が集合であるような集合のことを,集合族という. 例 1.4.2 集合族の簡単な例 \(A\) を,以下のような集合とすれば,\(A\) は集合族である. $$A=\{\{1\},\ \{2\}\}$$ 定義 1.4.3 べき集合 集合 \(A\) の部分集合全体の集 […]

「微分積分学」1.1 デデキントの切断と上限,下限

この記事では,「デデキントの切断」と呼ばれるものや「上限」「下限」について解説する.また,そのために,実数がもつ「連続性」とよばれる性質のデデキントの切断や上限,下限を用いた説明を行う. 実数の連続性とは,簡単に言うと,数直線上には実数が「ぎっちり」詰まっていることを意味する.これを説明する同値な定理が数多く知られていて,以下はそのうちの6つである.この記事では,「デデキントの切断」と「上限,下限 […]