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2019年5月

「微分積分学」5.開集合と閉集合の諸性質

5.開集合と閉集合の諸性質  この記事では,ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理やハイネ=ボレルの定理の内容が理解しやすくなると考えたので,開集合や閉集合の様々な性質について触れ,それらになじんでもらおうと思う. 集合の族の和集合,共通部分について  念のため,文脈的に意味はほぼ明らかだと思うが,以下で使用するいくつかを紹介する.くわしくはここを参照. 定義 5.1 集合の族に関する記号  各元 […]

「微分積分学」4.開集合と閉集合

4.開集合と閉集合  この記事では,\(\mathbb{R}\)の開集合や閉集合の定義とその性質について解説する.これまでの記事で,実数の連続性を説明する6つの同値な定理のうち4つが同値であることを解説し,残りふたつは ・ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 ・ハイネ=ボレルの被覆定理        である.これらの定理について述べる前に開集合と閉集合についてふれておきたいので,その1次元の場合 […]

「微分積分学」3.区間縮小法とアルキメデスの原理

3.区間縮小法とアルキメデスの原理  この記事では,「区間縮小法」とよばれる定理とアルキメデスの原理について解説する.それらの主張について解説したあと,「有界で単調な数列は収束する」ことを用いて,証明を行う.  区間縮小法とアルキメデスの原理は,2つを合わせれば「実数の連続性」を表す同値な定理のひとつである.実際,以下の6つの定理が同値である. \begin{align} (\mathrm{I}) […]

「集合と写像」番外編1.空集合,空写像

空集合,空写像  この記事では,空集合と,ともすると大学の講義では触れられることさえない「空写像」と呼ばれるものについて,解説する. 命題の真偽  空集合に関する議論では,命題「\(P\Rightarrow{}Q\)」は仮定である \(P\) が成立していなければ偽である,ということをよく使うので,思い出そう.対偶を考えると,理解できるのではないかと思う.こちらでも少し解説している 空集合  まず […]