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2019年6月

「微分積分学」9.有理数の稠密性

9.有理数の稠密性  この記事では,有理数(や無理数)の「稠密性(ちゅうみつせい)」と呼ばれる性質について解説する. 有理数の稠密性  ここでいう「稠密」とは,任意の \(\mathbb{R}\) の点 \(r\) と任意の正の数 \(\varepsilon\) に対して \({}(r-\varepsilon,r+\varepsilon)\) に含まれる有理数が存在する,ということである.これは, […]

「微分積分学」8.ハイネ=ボレルの被覆定理と実数の連続性

8.ハイネ=ボレルの被覆定理と実数の連続性  この記事では,ハイネ=ボレルの被覆定理が,実数の連続性を表す同値な定理のひとつであることについて解説する. ハイネ=ボレルの被覆定理と実数の連続性  ハイネ=ボレルの被覆定理は,実数の連続性を表す同値な定理のひとつである.実際,以下の6つは全て同値である. \begin{align} (\mathrm{I}) &:デデキントの定理\notag\ […]

「微分積分学」7.ハイネ=ボレルの被覆定理

7.ハイネ=ボレルの被覆定理  この記事では,実数の連続性を説明する以下の6つの定理のうち,\(\mathrm{(VI)}\) のハイネ=ボレルの被覆定理の,ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を用いた証明を行う. \begin{align} (\mathrm{I}) &:デデキントの定理\notag\\ (\mathrm{II}) &:ワイエルシュトラスの定理\notag\\ […]

「微分積分学」6.ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

6.ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理  この記事では,ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の主張について解説し,証明を行う.証明には,区間縮小法とアルキメデスの原理を用いる.その後,ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が「実数の連続性」を表す同値な定理の1つであることについて解説する.  実際,以下の6つの定理が同値であり,\(\mathrm{(I)}\)~\(\mathrm{(IV)} […]