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2020年5月

「集合と写像」4.1 選択公理の主張

この記事では,選択公理と呼ばれる命題の主張について解説する. 直積と選択公理 選択公理は,「直積」について考えると自然に浮かび上がってくる命題である. 集合 \(A,B\) の直積 \(A{}\times{}B\) とは,順序対 \({}(a,b)\) で \(a\in{}A,\ b\in{}B\) なるものの集まりであった.ここで,順序対とは,例えば \({}(a,b)=\{\{a\},\{a, […]

「集合と写像」3.5 整列集合と順序を保つ写像,比較可能定理

この記事では整列集合の間の順序を保つ写像について考える.整列性は様々な興味深い結果をもたらしてくれる.整列集合の比較可能定理が主な目標である. 自身との比較 ここでは,\(f:X\to{}X\) が順序を保つときにどんなことが起こるかを考えよう. 定理 3.5.1 \(X\) が整列集合であるとし,\(f:X\to{}X\) が順序を保つとする.このとき,\(x\leq{}f(x)\). 証明 \ […]