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集合と写像

「集合と写像」4.3 ツォルンの補題

この記事では,選択公理と同値な命題として知られる「ツォルンの補題」と呼ばれる命題を,選択公理を仮定して証明する. 帰納的半順序集合 ツォルンの補題の主張を述べるために,半順序集合が帰納的であることの定義を紹介する. 定義 4.3.1 帰納的半順序集合 \({}(X,\leq)\) が半順序集合(半順序集合の定義はこの記事を参照)であるとする.\({}(X,\leq)\) が帰納的であるとは,空でな […]

「集合と写像」4.2 選択公理に関する例

この記事では,選択公理の主張がどのような場面で用いられるのか,かんたんな例を紹介する. 可算部分集合 はじめの例は,任意の無限集合が可算な部分集合をふくむことの証明である. 定理 4.2.1 \(A\) を無限集合とすると,\(A\) の可算な部分集合が存在する. 証明 任意に無限集合 \(A\) が与えられたとし,\(f\) を \(A\) 上の選択関数とする.任意に \(A\) の元を与え,\ […]

「集合と写像」4.1 選択公理の主張

この記事では,選択公理と呼ばれる命題の主張について解説する. 直積と選択公理 選択公理は,「直積」について考えると自然に浮かび上がってくる命題である. 集合 \(A,B\) の直積 \(A{}\times{}B\) とは,順序対 \({}(a,b)\) で \(a\in{}A,\ b\in{}B\) なるものの集まりであった.ここで,順序対とは,例えば \({}(a,b)=\{\{a\},\{a, […]

「集合と写像」3.5 整列集合と順序を保つ写像,比較可能定理

この記事では整列集合の間の順序を保つ写像について考える.整列性は様々な興味深い結果をもたらしてくれる.整列集合の比較可能定理が主な目標である. 自身との比較 ここでは,\(f:X\to{}X\) が順序を保つときにどんなことが起こるかを考えよう. 定理 3.5.1 \(X\) が整列集合であるとし,\(f:X\to{}X\) が順序を保つ単射であるとする.このとき,\(x\leq{}f(x)\). […]

「集合と写像」3.4 整列集合,超限帰納法

この記事では,整列集合,順序の定義と,その性質について解説する.     定義 ここでは,整列集合とそれに関連する用語を定義し,議論の準備をする. 定義 3.4.1 整列集合 半順序集合 \({}(X,\leq_{{}_X})\) が整列集合である,あるいは \(\leq_{{}_X}\) が整列順序であるとは,\(X\) の空でない任意の部分集合が最小限を持つことをいう.すな […]

「集合と写像」3.3 順序を保つ写像,順序同型

この記事では,順序を保つ写像や順序同型,および整列順序や順序を保つ写像と整列順序の関係などについて解説する. 順序を保つ写像 何をしたいかというと,半順序集合同士(とくに,のちに述べる整列集合同士)の構造を比べたいのである.そこでその間の写像を用いるわけであり,とくに構造を「保つ」ものに興味があるのである.まずは順序を保つ写像を定義しよう. 定義 3.3.1 順序を保つ写像 \({}(X,\leq […]

「集合と写像」3.2 同値関係,商集合

この記事では,同値関係と商集合の定義やその例について解説する.これらの概念は,集合とその上の構造を合わせて考えるとき,似た性質をもつものなどを「同一視」する際に用いられる. 同値関係の定義 同値関係とは,集合の二元が「同じようなものか否か」を定めるものとしてよく用いられる.まず,同値関係を定義するのに必要なことばや記法を紹介しておく.   集合 \(X\) の任意の二元 \(x,y\) […]

「集合と写像」3.1 関係,順序とその関連用語の定義

この記事では,関係とそれに関するいくつかの用語の定義を解説し,例を挙げる. 関係 集合 \(X\) が与えられており,\(X\) の元からなる順序対 \({}(a,b){}\) に対してあてはまるかあてはまらないかを(原理的には)判定できる条件が与えられているとしよう(例えば,実数の順序がそうである).このとき,\({}(a,b){}\) がその規則を満たすか満たさないかにより,\(X\) のふた […]

「集合と写像」2.4 可算と非可算2

この記事では,\(\mathfrak{P}(\mathbb{N})=\mathbb{R}\) と \(|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\times\mathbb{R}|\) の証明をおこなう.なお,\(\mathfrak{P}(\mathbb{N})\) は \(\mathbb{N}\) のべき集合であり,このサイトでは \(0\in\mathbb{N}\) としている. \(|\ […]

「集合と写像」2.3 直積やべき集合と濃度,カントールの定理

この記事では,濃度の比較について,直積やべき集合に関連するものを紹介する. 直積と濃度 直積によって構成されたふたつの集合について,直積を構成する集合(直積因子)同士の関係からわかることがある. 定理 2.3.1 \begin{align} \mathrm{(i)}:\ &|A_1|\leq|B_1|かつ|A_2|\leq|B_2|\Rightarrow|A_1\times{}A_2|\l […]