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濃度の比較

「集合と写像」2.4 可算と非可算2

この記事では,\(\mathfrak{P}(\mathbb{N})=\mathbb{R}\) と \(|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\times\mathbb{R}|\) の証明をおこなう.なお,\(\mathfrak{P}(\mathbb{N})\) は \(\mathbb{N}\) のべき集合であり,このサイトでは \(0\in\mathbb{N}\) としている. \(|\ […]

「集合と写像」2.3 直積やべき集合と濃度,カントールの定理

この記事では,濃度の比較について,直積やべき集合に関連するものを紹介する. 直積と濃度 直積によって構成されたふたつの集合について,直積を構成する集合(直積因子)同士の関係からわかることがある. 定理 2.3.1 \begin{align} \mathrm{(i)}:\ &|A_1|\leq|B_1|かつ|A_2|\leq|B_2|\Rightarrow|A_1\times{}A_2|\l […]

「集合と写像」2.2 可算と非可算1

ここでは,集合の濃度について,「可算」「非可算」ということばを紹介し,いくつかの集合の濃度が可算であることや \(\mathbb{R}\) が非可算であることなどについて解説する. 可算の定義 まず,この記事で最も中心的な話題となる「可算」を定義しよう. 定義 2.2.1 可算 任意に与えられた集合 \(A\) について, $$|A|=|\mathbb{N}|$$ であるとき,すなわち,\(A\) […]

「集合と写像」2.1 濃度の大小,ベルンシュタインの定理

「濃度の比較」とは,集合の元の個数の比較を,より一般に拡大したものである.この記事では,「濃度の比較」の基礎となる「濃度の大小」の定義,および,その基本的な性質を紹介する.(なお,「濃度」そのものはこの記事では定義しない.のちに順序数について解説していく際に定義する.) 定義 まず,以下のように「濃度の大小」(濃度ではない!)を定義する. 定義 2.1.1 (i) 集合 \(A,B\) の間に少な […]