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選択公理,Zornの補題,整列可能定理

「集合と写像」4.3 ツォルンの補題

この記事では,選択公理と同値な命題として知られる「ツォルンの補題」と呼ばれる命題を,選択公理を仮定して証明する. 帰納的半順序集合 ツォルンの補題の主張を述べるために,半順序集合が帰納的であることの定義を紹介する. 定義 4.3.1 帰納的半順序集合 \({}(X,\leq)\) が半順序集合(半順序集合の定義はこの記事を参照)であるとする.\({}(X,\leq)\) が帰納的であるとは,空でな […]

「集合と写像」4.2 選択公理に関する例

この記事では,選択公理の主張がどのような場面で用いられるのか,かんたんな例を紹介する. 可算部分集合 はじめの例は,任意の無限集合が可算な部分集合をふくむことの証明である. 定理 4.2.1 \(A\) を無限集合とすると,\(A\) の可算な部分集合が存在する. 証明 任意に無限集合 \(A\) が与えられたとし,\(f\) を \(A\) 上の選択関数とする.任意に \(A\) の元を与え,\ […]

「集合と写像」4.1 選択公理の主張

この記事では,選択公理と呼ばれる命題の主張について解説する. 直積と選択公理 選択公理は,「直積」について考えると自然に浮かび上がってくる命題である. 集合 \(A,B\) の直積 \(A{}\times{}B\) とは,順序対 \({}(a,b)\) で \(a\in{}A,\ b\in{}B\) なるものの集まりであった.ここで,順序対とは,例えば \({}(a,b)=\{\{a\},\{a, […]