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集合と写像の基礎

「集合と写像」6.像,逆像

6.像,逆像  この記事では,像や逆像の定義と,その簡単な例や基本的な性質を与える. 像  「像」とは,端的に言えば「行き先」のことである.写像の定義域のある部分集合について議論したいときに,その「行き先」を考えたいときがあるので,以下のような準備をしておくのである. 定義 6.1 像  写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.このとき,\(A\) の部分集合 \(X\) に対し […]

「集合と写像」5.写像,写像の合成

5.写像,写像の合成  この記事では,写像の定義をする.様々な分野の数学の教科書に載っている一般的なものを紹介した後,直積を用いた,集合としての定義を添えておく.そしてその後,写像の合成について説明する.このとき,高等学校で習ったであろう三角関数を例として用いる1)三角関数,および指数,対数関数について微分積分学の記事でもうすこし詳しく触れるつもりである.ただし,三角関数を定義するときに級数の収束 […]

「集合と写像」4.集合族,補集合

4.集合族,補集合  この記事では集合族と補集合について解説を行う.また,それに関連して巾集合や添字付けられた集合族についても解説する. 集合族 定義 4.1 集合族  各元が集合であるような集合のことを,集合族という. 例 4.2 集合族の簡単な例  \(A\) を,以下のような集合とすれば,\(A\) は集合族である. $$A=\{\{1\},\ \{2\}\}$$ 定義 4.3 巾集合  集 […]

「集合と写像」3.集合の演算に関する諸定理

3.集合の演算に関する諸定理  前回は書ききれなかったものを紹介する.以下で登場する \(A,B,C\) は集合,\(\emptyset\ \)は空集合である. 定理 3.1 空集合を用いた演算 \(\emptyset\cup{}A=A\tag{1}\) \(\emptyset\cap{}A=\emptyset\tag{2}\) \(\emptyset{}-A=\emptyset\tag{3}\) […]

「集合と写像」2.集合の演算

2.集合の演算  今回の記事では,集合の各種演算の定義と性質を紹介する. 共通部分,和,差 定義 2.1 共通部分,和,差  \(A,B\) を集合とする.記号\(\ \cap{},\cup{},-\ \)が,以下のように定義されている.1) \(\stackrel{\mathrm{def}}{=},\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\)といった記号は […]

「集合と写像」0.命題,論理の基本 

0.命題,論理の基本  この記事では,対偶や必要十分条件,背理法など,議論に必要な命題に関する基礎的な理論を紹介する. 命題  真偽が明確に決まる主張のことを,「命題」という.なお,命題が真であるとき,正しい,○○な条件を満足する,成立する,など状況に応じて様々な表現を使う.(伝わればなんでもよい.)  また,命題を表現する際に,「条件」という語をよく使う.これも,基本的には,満たされているか否か […]

「集合と写像」1.集合,部分集合の定義

はじめに  この記事では,命題に関する諸々の基礎知識(必要十分条件,対偶,\(\Leftarrow,\ \Rightarrow,\ \Leftrightarrow\),などに関すること)は既知として扱う.ただし,将来的には 記事を書いて投稿する予定である(0.命題,論理の基本を投稿しました).また,複素数(特に実数)も既知とする. 1.集合,部分集合の定義 集合の定義 定義 1.1 集合  集合と […]