「集合と写像」1.7 単射,全射,全単射

この記事では,全射,単射,全単射の定義を与え,合成によってこれらの性質が保たれることをみる.

単射

まずは,単射の定義を与えよう.これは,行き先が同じならもとの元が同じであることの定式化となっている.

定義 1.7.1 単射

写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.写像 \(f\) が単射であるとは,

$$任意のAの元a_1,a_2について,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow{}a_1=a_2$$

が成り立つことである.

 

対偶を考えることにより,直ちに次の主張が得られる.これは,直観的には,「行き先が同じならもとの元が同じ」であることと「違う元の行き先は違う」ことが同じであることをいっている.

定理 1.7.2

写像 \(f:A\to{}B\) について,以下は同値

\begin{align}
任意の\ A\ の元\ a_1,a_2\ について,&f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow{}a_1=a_2\notag\\
任意の\ A\ の元\ a_1,a_2\ について,&a_1\not=a_2\Rightarrow{}f(a_1)\not=f(a_2)\notag
\end{align}

 

単射の定義には,どちらを採用してもよい.筆者個人の感覚では,一方が明らかに多数派ということはないと思う.与えられた写像が単射であることを示すには,上記のうちの示しやすそうな方を示しておけばよい.

例 1.7.3 包含写像

\(A=\{1,2\}\),\(B=\{1,2,3\}\) とする.\(f:A\to{}B\) を \(f(1)=1,f(2)=2\) として定めれば,\(f\) は単射である.このように,\(A\subset{}B\) なる \(A\) と \(B\) について,\(f(x)=x\) となるように定められた写像 \(f:A\to{}B\) を包含写像という.包含写像は常に単射である.

例 1.7.4 恒等写像

任意の集合 \(A\) について,恒等写像 \(\mathrm{id_A}\) は単射である.

例 1.7.5

\(A=\{1\}\) とし,\(B\) を空でない集合とする.このとき, \(A\) から \(B\) への任意の写像は単射である.

 

単射は,合成により保たれる.それが,定理 7.6 の主張である.

定理 1.7.6

写像 \(f:A\to{}B\) と \(g:B\to{}C\) が与えられたとせよ.\(f,g\) が共に単射なら,その合成 \(g\circ{}f\) も単射である.

証明

\({}(g\circ{}f)(a_1)=(g\circ{}f)(a_2)\) とする.このとき \(g(f(a_1){})=g(f(a_2){})\) であり,\(g\) が単射であることから \(f(a_1)=f(a_2)\) であり,\(f\) が単射であることから \(a_1=a_2\) である.

(証明終)

 

全射

全射とは,「行き先が全体」であることである.以下の定義はその定式化となっている.

定義 1.7.7 全射

写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.\(f\) が全射であるとは,

$$任意の\ B\ の元\ b\ に対してある\ A\ の元\ a\ があり,f(a)=b$$

が成り立つことである.

 

像という語を用いるならば,\(\mathrm{Im}f=B\)と表現することもできる.

定理 1.7.8

以下は同値

\begin{align}
任意の\ B\ の元\ b\ に対して&ある\ A\ の元\ a\ があり,f(a)=b\notag\\
{}&\mathrm{Im}f=B\notag
\end{align}

例 1.7.9

\(A=\{1,2,3\},B=\{1,2\}\) とする.\(f(1)=2,f(2)=f(3)=3\) として写像 \(f:A\to{}B\) を与えれば,\(f\) は全射である.

例 1.7.10 恒等写像

任意の集合 \(A\) について,恒等写像 \(\mathrm{id}_A\) は全射である.

 

冒頭で予告しておいたように,全射も合成で保たれる.

定理 1.7.11

写像 \(f:A\to{}B\) と \(g:B\to{}C\) が与えられたとせよ.\(f,g\) がともに全射ならば,\(g\circ{}f\) も全射である.

証明

任意に \(C\) の元 \(c\) を与えたとせよ.\(g\) は全射なので,ある \(B\) の元 \(b\) により,\(g(b)=c\) が成り立つ.この \(b\) について,\(f\) は全射なので,ある \(A\) の元 \(a\) により \(f(a)=b\) となる.この \(a\) について,\({}(g\circ{}f)(a)=g(f(a){})=c\) が成立する.

よって,任意の \(C\) の元 \(c\) に対してある \(A\) の元 \(a\) が存在して \({}(g\circ{}f)(a)=c\) が成り立つので,\(g\circ{}f\) は全射.

(証明終)

 

全単射

全単射は,全射,単射の意味を知って入れば,名前通りの意味である.

定義 1.7.12 全単射(一対一)

写像 \(f\) が与えられたとき,\(f\) が全射かつ単射であれば,\(f\) は全単射である,あるいは,一対一であるという.

例 7.13

\(A=\{1,2\},B=\{3,4\}\) とする.写像 \(f:A\to{}B\) を \(f(1)=3,f(2)=4\) によって定めれば,\(f\) は全単射.

例 1.7.14 恒等写像

任意の集合 \(A\) に対し,恒等写像 \(\mathrm{id}_A\) は全単射である.

 

また,全射,単射について示した内容から,以下は明らかである.

定理 1.7.15

写像 \(f:A\to{}B\) と \(g:B\to{}C\) について,\(f,g\) が共に全単射なら \(g\circ{}f\) も全単射.

証明

\(f,g\) は共に単射なので,定理 1.7.6 より \(g\circ{}f\) も単射.\(f,g\) は共に全射なので,定理 1.7.11 より \(g\circ{}f\) も全射.したがって,\(g\circ{}f\) は全単射.

(証明終)

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参考書籍

この記事の内容を勉強するにあたり,定番で,筆者も使用している本を紹介します.(定価は2020年05月16日時点のものを表記しています.)

 

まずひとつ目は,内田 伏一著「集合と位相」,通称「内田」です.筆者は主にこちらを使用しています.

数学の基礎となっている集合論の内容と位相空間論の内容をまとめた本です1)普通,大学の数学科では「集合と位相」というタイトルで講義が開講されるので,それに合わせた内容になっています..なお,筆者が用いているのはこれの旧版で,増補改訂版では,演習問題の解答が拡充されているようです.


 

 

  ふたつ目は,松坂 和夫著「集合・位相入門」,通称「松坂」です. 内田同様,位相空間まで網羅した内容となっているほか,濃度の演算や順序数の古典的な扱いにふれられています(内田では省略されている).なお,筆者は,こちらの本も旧版を使っています.  


 

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References   [ + ]

1. 普通,大学の数学科では「集合と位相」というタイトルで講義が開講されるので,それに合わせた内容になっています.