「集合と写像」1.8 逆写像

この記事では,逆写像について解説する.はじめに定義といくつかの例を与え,その後,逆写像の一意性,逆写像が存在することと全単射であることの同値性をみる.

逆写像の定義

まずは,逆写像の定義と簡単な例を与えよう.

定義 1.8.1 逆写像

写像 \(f:A\to{}B\) が与えられているとする.このとき,ある写像 \(g:B\to{}A\) があって

\begin{align}
g\circ{}f&=\mathrm{id}_A\notag\\
f\circ{}g&=\mathrm{id}_B\notag
\end{align}

が成立するとき,\(g\) を \(f\) の逆写像という.

 

定義から直ちに次がいえる.

定理 1.8.2

\(g:B\to{}A\) が \(f:A\to{}B\) の逆写像ならば,\(f\) は \(g\) の逆写像である.

 

以下に簡単な例を与えよう.

例 1.8.3

\(A=\{0,1\},B=\{2,3\}\) とし,\(f:A\to{}B\) を \(f(0)=2,f(1)=3\) として定める.このとき,\(g:B\to{}A\) を \(g(2)=0,g(3)=1\) として定めると,\(g\) は \(f\) の,\(g\) は \(f\) の逆写像である.

例 1.8.4

\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を \(f(x)=2x\),\(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を \(g(x)=\frac{1}{2}x\) として定めると,\(g\) は \(f\) の,\(f\) は \(g\) の逆写像になっている.

 

逆写像の一意性

例 1.8.3, 1.8.4 について,\(f\) の逆写像はひとつしかない.これは,一般に成り立つことである.

定理 1.8.5

逆写像は,存在しても高々ひとつしかない.

証明

写像 \(f:A\to{}B\) が与えられていて,さらに,\(g:B\to{}A\) と \(h:B\to{}A\) が,共に \(f\) の逆写像であるとする.このとき,

$$g={}g\circ{}\mathrm{id}_B=g\circ{}(f\circ{}h)=(g\circ{}f)\circ{}h=\mathrm{id}_A\circ{}h=h$$

(証明終)

 \(f\) の逆写像を,\(f^{-1}\) とかく.定理 8.5 より,存在すれば \(f^{-1}\) は一意に定まるので,このような書き方が可能なのである.\(f\) の逆像(ここを参照)と同じ記号を書くので混乱しないように注意されたい.

 

逆写像の存在条件

ここでは,予告した通り,逆写像が存在することと全単射であることが同値であることをみる.そのために,準備として,以下の補題を示す.以下の補題は,(一方の値域がもう一方の定義域と等しい)ふたつの写像について,その合成写像の性質からわかることについて述べたものである.

補題 1.8.6

集合 \(A,B,C\) と写像 \(f:A\to{}B\),\(g:B\to{}C\) が与えられているとする.このとき,\(g\circ{}f:A\to{}C\) が全射なら \(g\) は全射,\(g\circ{}f:A\to{}C\) が単射なら \(f\) は単射である.

証明

\(g\circ{}f:A\to{}C\) が全射であるとする.任意に \(C\) の元 \(c\) を与える.このとき,\(g\circ{}f\) が全射であることから,ある \(A\) の元 \(a\) があって \({}(g\circ{}f)(a)=c\) となる.したがって,この \(a\) に対し \(b=f(a)\) とおけば,\(b\) は \(B\) の元で \(g(b)=c\) を満たす.以上より,任意の \(C\) の元 \(c\) に対して \(B\) の元 \(b\) があって \(g(b)=c\) となるので,\(g\) は全射.

次に,\(g\circ{}f:A\to{}C\) が単射なら \(f\) が単射であることを示す.これには,対偶を考えることにより,\(f\) が単射でないなら \(g\circ{}f\) も単射でないことを示せばよい.
\(f\) が単射でないとする.このとき,ある異なる \(A\) の元 \(a_1,a_2\) に対し,\(f(a_1)=f(a_2)\) である.この \(a_1,a_2\) に対し,\({}(g\circ{}f)(a_1)=g(f(a_1){})=g(f(a_2){})=(g\circ{}f)(a_2)\) となるので,\(g\circ{}f\) は単射でない.

(証明終)

 

では,逆写像の存在と全単射であることとの同値性の証明に入ろう.

定理 1.8.7

写像\(f:A\to{}B\)について,\(f\)が全単射であることと\(f\)に逆写像が存在することとは同値である.

証明

まず,\(f\) に逆写像が存在すれば全単射であることを示そう.\(f\circ{}f^{-1}=\mathrm{id}_B\) であり,\(\mathrm{id}_B\) は全射なので,上の補題より \(f\) は全射である.\(f^{-1}\circ{}f=\mathrm{id}_A\) であり,\(\mathrm{id}_A\) は単射なので,上の補題より \(f\) は単射である.

次に,\(f\) が全単射ならば \(f\) の逆写像が存在することを示そう.それには,\(f\) が全単射であるとして実際に逆写像を構成すればよい.\(f\) は全単射であるので,\(B\) の任意の元 \(b\) に対し,\(f(a)=b\) なる \(A\) の元 \(a\) がただ一つ存在する.そこで,\(f^{-1}(b)=a\) とする.これが任意の \(B\) の元に対して可能であり,さらに \(f^{-1}(b)\) は必ずひとつに定まるので,この対応は写像 \(f^{-1}:B\to{}A\) を定める.この \(f^{-1}\) は \(f\) の逆写像になっている.

(証明終)

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参考書籍

この記事の内容を勉強するにあたり,定番で,筆者も使用している本を紹介します.(定価は2020年05月16日時点のものを表記しています.)

 

まずひとつ目は,内田 伏一著「集合と位相」,通称「内田」です.筆者は主にこちらを使用しています.

数学の基礎となっている集合論の内容と位相空間論の内容をまとめた本です1)普通,大学の数学科では「集合と位相」というタイトルで講義が開講されるので,それに合わせた内容になっています..なお,筆者が用いているのはこれの旧版で,増補改訂版では,演習問題の解答が拡充されているようです.


 

 

  ふたつ目は,松坂 和夫著「集合・位相入門」,通称「松坂」です. 内田同様,位相空間まで網羅した内容となっているほか,濃度の演算や順序数の古典的な扱いにふれられています(内田では省略されている).なお,筆者は,こちらの本も旧版を使っています.  


 

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References   [ + ]

1. 普通,大学の数学科では「集合と位相」というタイトルで講義が開講されるので,それに合わせた内容になっています.