「集合と写像」3.3 順序を保つ写像,順序同型

この記事では,順序を保つ写像や順序同型,および整列順序や順序を保つ写像と整列順序の関係などについて解説する.



順序を保つ写像

何をしたいかというと,半順序集合同士(とくに,のちに述べる整列集合同士)の構造を比べたいのである.そこでその間の写像を用いるわけであり,とくに構造を「保つ」ものに興味があるのである.まずは順序を保つ写像を定義しよう.

定義 3.3.1 順序を保つ写像

\({}(X,\leq_{X}),(Y,\leq_{Y})\) を共に半順序集合とする.写像 \({}f:X\to{}Y\) が順序を保つとは,任意の \(x_1,x_2\in{}X\) について

$$x_1\leq_{{}_X}x_2\Rightarrow{}f(x_1)\leq_{{}_Y}f(x_2)$$

が成り立つことと定める.

 

以下,誤解の恐れがなければ \({}(X,\leq_{{}_X})\) が半順序集合のときは \({}(X,\leq_{{}_X})\) を表すのにも \(X\) を用いる.また,どの集合における順序かを示したい場合は,不等号に添字を付けて表すことにする.

定理 3.3.2

\(X,Y,Z\) を半順序集合とし,\(f:X\to{}Y\) と \(g:Y\to{}Z\) は順序を保つ写像であるとする.このとき,\(g\circ{}f:X\to{}Z\) も順序を保つ.

証明

\(x_1\leq_{{}_X}x_2\) とすると,\(f\) は順序を保つので \(f(x_1)\leq_{{}_Y}f(x_2)\) であり,\(g\) は順序を保つので,\(g(f(x_1){})\leq_{{}_Z}g(f(x_2){})\) となる.したがって,定義から \(g\circ{}f\) は順序を保つ写像である.

 

例 3.3.3

任意の半順序集合について,その上の恒等写像は順序を保つ.

 

例 3.3.4

半順序集合の部分集合からもとの集合への包含写像は順序を保つ.たとえば,\(i:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\) を \(i(n)=n\) で定めると \(i\) は順序を保つ.

 



 

順序同型

ふたつの半順序集合が「全く同じ」であるとはどういうことであろうか?それは,感覚的に言えば「順序も含めて」一対一に完全に対応しているということである.

定義 3.3.5 順序同型

\(X,Y\) を半順序集合とする.\(X,Y\) が順序同型であるとは,順序を保つ写像 \(f:X\to{}Y\) と \(g:Y\to{}X\) が存在して,\(f,g\) が互いに逆写像となることをいう.このとき,\(f\) および \(g\) を順序同型写像といい,\(X,Y\) が順序同型であることを

$$X\cong{}Y{}((X,\leq_{{}_X})\cong(Y,\leq_{{}_Y}){})$$

であらわす.

 

定義の述べ方の対称性,定理 3.3.2(順序を保つ写像の合成も順序を保つ),例 3.3.3(恒等写像は順序を保つ)から,次のことがわかる.

定理 3.3.6

\(X,Y,Z\) を任意に与えられた半順序集合とすると,

\begin{align}
\mathrm{(i)}&:X\cong{}X\notag\\
\mathrm{(ii)}&:X\cong{}Y\ ならば\ Y\cong{}X\notag\\
\mathrm{(iii)}&:X\cong{}Y,Y\cong{}Z\ ならば\ X\cong{}Z\notag
\end{align}

 

ふたつの半順序集合が同型なら,順序に関する性質は全て同じになる.ここで,順序に関するいくつかの言葉を紹介したのち,例をみていく.(3.3.7で定義することばは別の記事でも紹介している)

定義 3.3.7

\(X\) を半順序集合,\(A\) を \(X\) の部分集合とする.

\(\alpha\in{}A\) が,任意の \(a\in{}A\) に対して \(a\leq{}\alpha{}\) を満たすとき,\(\alpha{}\) を \(A\) の最大値という.\(A\) の最大値は,存在するとき,\(\mathrm{max}A\) で表される.不等号の向きを変えて,\(\alpha\in{}A\) が,任意の \(a\in{}A\) に対して \(\alpha\leq{}a{}\) を満たすとき,\(\alpha{}\) を \(A\) の最小値という.\(A\) の最小値は,存在するとき,\(\mathrm{min}A\) で表される.

\(x\in{}X\) が,任意の \(a\in{}A\) に対して \(a\leq{}x{}\) を満たすとき,\(x{}\) を \(A\) の上界であるという.不等号の向きを変えて,\(x\in{}X\) が,任意の \(a\in{}A\) に対して \(x\leq{}a{}\) を満たすとき,\(x{}\) を \(A\) の下界であるという.

\(A\) の上界の最小値が存在するとき,それを \(A\) の上限といい,\(\mathrm{sup}A\) であらわす.\(A\) の下界が存在するとき,それを \(A\) の下界といい,\(\mathrm{inf}A\) であらわす.

 

定義から,次のことがわかる.

定理 3.3.8

\(X\) は半順序集合で,\(A\subset{}X\) とする.\(A\) の最大値が存在すれば,それは \(A\) の上界でもあり,上限でもある.\(A\) の最小値が存在すれば,それは \(A\) の下界であり,下限でもある.

 

順序同型で性質が保たれるということの意味を少し具体的に述べたものが次の定理である.

定理 3.3.9

\(X,Y\) は半順序集合で,\(f:X\to{}Y\) を順序同型写像とする.任意に \(X\) の部分集合 \(A\) を与える.

\begin{align}
\mathrm{(i)}&:Aに最大元があれば,f(A)にも最大限が存在して\max{f(A)}=f(\max{A})\notag\\
\mathrm{(ii)}&:Aに最小元があれば,f(A)にも最小限が存在して\max{f(A)}=f(\min{A})\notag\\
\mathrm{(iii)}&:x\in{}XがAの上界ならば,f(x)はf(A)の上界\notag\\
\mathrm{(iv)}&:x\in{}XがAの下界ならば,f(x)はf(A)の下界\notag\\
\mathrm{(v)}&:Aに上限があれば,f(A)にも上限が存在して\sup{f(A)}=f(\sup{A})\notag\\
\mathrm{(vi)}&:Aに下限があれば,f(A)にも下限が存在して\inf{f(A)}=f(\inf{A})\notag
\end{align}

証明

まず,(iii) を示す.\(a\) が \(A\) の上界であるとする.\(f(A)\) の元を任意に与え,\(y\) とする.\(x\in{}A\) かつ \(y=f(x)\) なる \(x\) を与えることができ,そのような \(x\) についてゆえ,\(x\leq_{{}_X}a\) から \(y=f(x)\leq_{{}_Y}f(a)\) となる.\(y\) は任意だったので,上界の定義から \(f(a)\) は \(f(A)\) の上界.

次に,(i) を示す.\(a\) が \(A\) の最大値ならば (iii) より \(f(a)\) は \(f(A)\) の上界であり,\(a\in{}A\) より \(f(a)\in{}f(A)\) ゆえ,最大値の定義より \(f(a)\) は \(f(A)\) の最大値.

不等号の向きを変えて全く同じ議論をすることにより,(ii),(iv) がわかる.(iii) を示す.\(A\) の上界全体の集合と \(f(A)\) の上界全体の集合は,\(f\) が順序同型であることから,\(f\) とその逆写像により一対一に対応している.すなわち,\(A\) の上界全体の集合を \(A^*\) とすると,\(f(A)\) の上界全体の集合は \(f(A^*)\) である.(ii)から,\(A^*\) の最小値を \(f\) で移せば \(f(A^*)\) の最小値となる.上限の定義から \(\sup{f(A)}=f(\sup{A})\).不等号の向きを変えて全く同様の議論をすることにより,(vi) が示される.

 

例 3.3.10

\(\mathbb{R}\) の通常の順序を考える.部分集合 \([0,1]\) と \([0,2]\) は順序同型である.順序同型写像は \([0,1]\ni{}x\mapsto2x\in[0,2]\) で与えられる.\({}(0,1),(0,2)\) についても同様.一般に,ふたつの閉区間同士,開区間同士は順序同型である.

 

例 3.3.11

\(\mathbb{N,Z,Q,R}\) とその通常の順序について考えると,どれも互いに順序同型でない.

\(\mathbb{R}\) から \(\mathbb{N,Z,Q}\) への写像は単射にならないので,\(\mathbb{R}\) はほかの3つと順序同型でない.\(\mathbb{N}\) には最小元があるがほかの3つには最小元はないので,\(\mathbb{N}\) はほかの3つと順序同型でない.\(\mathbb{Q}\) では任意の相異なる二元に対し間の元があるが,\(\mathbb{Z}\) において \(0,1\) の間の元はないので,\(\mathbb{Q}\) と \(\mathbb{Z}\) は順序同型でない.

 

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参考書籍

この記事の内容を勉強するにあたり,定番で,筆者も使用している本を紹介します.(定価は2020年05月16日時点のものを表記しています.)

 

まずひとつ目は,内田 伏一著「集合と位相」,通称「内田」です.筆者は主にこちらを使用しています.

数学の基礎となっている集合論の内容と位相空間論の内容をまとめた本です1)普通,大学の数学科では「集合と位相」というタイトルで講義が開講されるので,それに合わせた内容になっています..なお,筆者が用いているのはこれの旧版で,増補改訂版では,演習問題の解答が拡充されているようです.


 

 

  ふたつ目は,松坂 和夫著「集合・位相入門」,通称「松坂」です. 内田同様,位相空間まで網羅した内容となっているほか,濃度の演算や順序数の古典的な扱いにふれられています(内田では省略されている).なお,筆者は,こちらの本も旧版を使っています.  


 

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References   [ + ]

1. 普通,大学の数学科では「集合と位相」というタイトルで講義が開講されるので,それに合わせた内容になっています.